Теорема о покоординатной сходимости

$$\lim\limits_{n \to \infty} x^n = a \iff \forall{k = \overline{1,m}}~~ \lim\limits_{n \to \infty} x_k^n = a_k$$

$\Large{\implies}$ $$|x_k^n - a_k| = \left(|x_k^n - a_k|^p\right)^{1/p} \leq \left(\sum_{j=1}^{m} |x_j^n - a_j|^p\right)^{1/p} = \rho(x^n, a)$$ Значит $$\forall{k = \overline{1,m}}~~ \forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{N(\varepsilon)}\mathpunct{:}~~ n > N(\varepsilon) \Rightarrow |x_k^n - a_k| \leq \rho(x^n, a) < \varepsilon.$$ $\Large{\impliedby}$ По условию, $\forall{k = \overline{1,m}}~~ \lim\limits_{n \to \infty} x_k^n = a_k$. Это означает, что $\lim\limits_{n \to \infty} \left(\max_{j=\overline{1,m}} |x_j^n - a_j|\right) = 0$. Рассмотрим: $$\rho(x^n, a) = \left(\sum_{k=1}^{m} |x_k^n - a_k|^p\right)^{1/p} \leq \left(\sum_{k=1}^{m} \left(\max_{j=\overline{1,m}} |x_j^n - a_j|\right)^p\right)^{1/p} = m^{1/p} \max_{j=\overline{1,m}} |x_j^n - a_j|.$$ Но так как $\lim\limits_{n \to \infty} \left(\max_{j=\overline{1,m}} |x_j^n - a_j|\right) = 0$, то правая часть $m^{1/p} \max_{j=\overline{1,m}} |x_j^n - a_j|$ стремится к нулю, и левая часть $\rho(x^n, a)$ также стремится к нулю. $\square$

Для любых $p, q \geq 1$ метрики $\rho_p$ и $\rho_q$ эквивалентны.